O quadrado Mutante

Ao professor e ao aluno

Esta oficina é voltada para professores e alunos do Ensino Fundamental e se propõe a trabalhar com um quadrilátero muito especial: o quadrado mutante.

Vamos explorá-lo geometricamente, aritmeticamente, artisticamente e até ludicamente. Para começar, um desafio.

Desafio 1

Quantos quadrados podemos contar na figura abaixo?

Desafio 2

Vamos explorar os Quadrados Mágicos?

Nos nove quadrados abaixo, tente situar todos os números naturais de 1 a 9 (sem repetir) de modo que a soma dos três números que se encontram em cada uma das três linhas, em cada uma das três colunas e em cada uma das duas diagonais, seja sempre 15.

        

Este é um exemplo de quadrado mágico de ordem 3. Você é capaz de criar outros?

A ordem de um quadrado mágico é determinada pelo número de linhas ou colunas nele existentes. O valor da soma dos elementos de uma linha, coluna ou diagonal é sempre constante. No caso acima, esta constante vale 15.

Experimente descobrir os valores que preenchem o quadrado mágico de ordem 4, onde a constante vale 34.

A lenda do quadrado mágico

Chamamos de quadrado mágico toda tabela de forma quadrada, contendo sequências de números, dispostos de tal forma que a soma dos elementos de uma linha, coluna ou diagonal seja constante.

Existe uma lenda chinesa que diz o seguinte:

"Na China, vivia o imperador Yu, que governava o reinado de 'Flowery'. Um dia, quando caminhava próximo ao rio Amarelo, o imperador viu uma tartaruga em seu caminho e começou a examinar o seu casco. Observou que este era dividido de maneira a formar linhas e colunas, e cada 'casa' formada continha pontos.

Ele começou a contar os pontos: primeiro aqueles da coluna da direita, os próximos foram os da coluna do centro, e por último os da esquerda. Todas as colunas continham o mesmo número de pontos!

Fez o mesmo com as linhas e as diagonais. Qual foi seu espanto quando observou que a soma era a mesma! As notícias da tartaruga saíram da corte do imperador, chegando às terras além do seu reinado.

Maravilhados, concluíram que este arranjamento de pontos tinha um significado místico. Então o lo-shu, como foi chamado o quadrado mágico, começou a aparecer em pedras mágicas com formas parecidas com as figuras."

(Hideo Kumayama, Revista de Matemática, RM9, CG Editora)

A história do quadrado mutante

Era uma vez um quadrado chamado mutante. Ele andava muito triste por não ter o que fazer e ninguém para brincar, pois era assim:

Um dia, depois de muito pensar, ele resolveu se dividir em algumas partes, de mesma forma e mesmo tamanho, para poder fazer coisas divertidas.

Primeiro ele se dividiu em duas partes iguais.

Ele então começou a se transformar a partir de cada uma das duas formas obtidas. Mas logo, logo se cansou.

Então ele resolveu se dividir em quatro partes iguais. Veja como ele ficou:

Depois de brincar de se transformar com algumas das 4 formas em que se transformou em cada caso, ele optou pela divisão em quatro triângulos.

Com estas 4 peças ele poderia se transformar em muitas coisas legais.

Poderia se transformar em uma árvore, um gato, um barco, um catavento e tantas outras coisas mais.

Desafio 3

Que tal ajudar o quadrado mutante a assumir novas formas? Os alunos podem usar toda a sua criatividade para brincadeiras, obtendo formas bonitas e divertidas.

Depois de criadas, contornadas e coloridas, as novas formas do mutante podem ser apresentadas para toda a turma, que deve descobrir que objeto ou figura está ali representado.

Use o mouse para fazer os triângulos girarem (clicar) e se combinarem em formas diversas (arrastar).

Esse trabalho rende uma boa discussão sobre a questão do olhar e da interpretação.

Dobrando e colorindo

Depois de muito brincar, o mutante resolveu se dividir em triângulos, partindo de sua forma quadrada mas agora sem separar as quatro partes, apenas dobrando-se ao meio.

Ele fez isto algumas vezes e, para ficar mais interessante, resolveu dar um colorido em cada parte.

Vamos reproduzir, partindo de um pedaço de papel branco, quadrado, de 10cm x 10cm, como tudo aconteceu.

1. Observar o quadrado inteiro;
2. Dobrar ao meio, do jeito que o mutante gosta. Pintar uma das duas partes de azul (1/2);
3. Dobrar ao meio outra vez. Pintar uma das quatro partes, ainda não pintadas, de vermelho (1/4);
4. Dobrar ao meio outra vez. Pintar umas das oito partes, ainda não pintadas, de verde (1/8);
5. Dobrar ao meio outra vez. Pintar duas das dezesseis partes, ainda não pintadas, de amarelo (1/16).

O mutante ficou com este aspecto:

Outras brincadeiras

Ficou tão legal a ideia do mutante - com pedaços de mesma forma, mas com cores e tamanhos diferentes - que resolvemos reproduzi-los para fazermos outras brincadeiras.

Cada grupo de 4 alunos receberá um quadrado de cada cor: um branco, sem divisões marcadas; um azul, dividido em duas partes iguais; um vermelho, dividido em 4 partes iguais; um verde, dividido em 8 partes iguais; e um amarelo,dividido em 16 partes iguais, todas triangulares.

Com este material vamos trabalhar:

1) Conceito de fração, com atividades como:

1. Cobrir o quadrado branco com peças azuis. Quantas peças foram necessárias para cobri-lo? Que parte do branco representa um triângulo azul?
2. Cobrir o quadrado branco com peças vermelhas. Quantas peças foram necessárias para cobri-lo? Que parte do branco representa um triângulo vermelho?
3. Cobrir o quadrado branco com peças verdes. Quantas peças foram necessárias para cobri-lo? Que parte do branco representa um triângulo verde?
4. Cobrir um triângulo azul com peças verdes. Quantas peças foram necessárias para cobri-lo? Que parte do triângulo azul representa um triângulo verde?

E assim por diante, em outras atividades análogas.

Outras brincadeiras

2) Trabalhar equivalência, com atividades como:

Cobrir um triângulo azul com triângulos de outras cores.

O aluno vai perceber que um triângulo azul pode ser coberto por 2 triângulos vermelhos ou 4 triângulos verdes. Assim perceberá que 1/2 é equivalente a 2/4 e a 4/8, que por sua vez são equivalentes entre si. Experimente outros exemplos.

Outras brincadeiras

3) Trabalhar adição de frações homogêneas, com atividades como:

Separar um triângulo vermelho, depois separar dois triângulos vermelhos, e, por último, uni-los, obtendo 3 triângulos vermelhos.

O aluno irá percebendo, depois de fazer outras atividades análogas, que, por exemplo:

4) Adição de frações heterogêneas, do tipo:

ou

Outras brincadeiras

5) Parte de parte:

Exemplos:

1. Quantos triângulos azuis cabem em um triângulo vermelho?
2. Quantos triângulos verdes cabem em um triângulo vermelho?
3. Quantos triângulos vermelhos cabem em um triângulo verde?

Para acabar, um pouco de arte

Depois de tanto pensar, o mutante já estava com a cabeça fervendo. Imaginem nossos alunos!

Para descansar um pouco, vamos sugerir que construam um painel com os quadrados coloridos em que cada um transformou o mutante. Depois de pensar na melhor forma de juntar todos os quadrados, vamos colá-los em uma folha de papel pardo ou papel "craft" e enfeitar nossa sala ou a escola.

Depois é só apreciar o resultado e colher os elogios...

E você?

Gostou das sugestões apresentadas? Conhecemos só um pouquinho do muito que podemos trabalhar a partir de um simples quadrado.

Tenho certeza que você já o utilizou em outras atividades bem legais ou que tem ideias interessantes prontas para serem discutidas e colocadas em prática.

Referências bibliográficas

EVES, Howard W. Introdução à História da Matemática. São Paulo: Editora da UNICAMP, 1995.

CARL, B. Boyer. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blucher e Edusp, 1974.